Question

已知椭圆与直线相交于两点．

（1）若椭圆的半焦距，直线与围成的矩形的面积为8，

求椭圆的方程；

（2）若（为坐标原点），求证：；

（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer

（1）

（2）结合韦达定理来加以证明，联立方程组得到。

（3）

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由已知得：    解得          3分

所以椭圆方程为：            4分

（2）设，由，

得

由，得

                   7分

由，得              8分

∴    

即，故            9分

（3）由（2）得   由，得，

∴                        12分

由得，∴

所以椭圆长轴长的取值范围为       14分

考点：直线与椭圆的位置关系