Question

在矩形中，以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点的坐标为，E、F为的两个三等分点，和交于点，的外接圆为⊙．

（1）求证：；

（2）求⊙的方程；

（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

Answer

（1），，根据。

(2) .

(3) ．

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，，，．

所以直线和直线的方程分别为:，，

由 解得 所以点的坐标为．     6分

所以，，

因为，所以，                8分

(2)由（1）知⊙的圆心为中点，半径为，

所以⊙方程为 .               10分

(3) 设点的坐标为，则点的坐标为，

因为点均在⊙上，所以，

由②－①×4，得，

所以点在直线，      12分

又因为点在⊙上，

所以圆心到直线的距离

 ，            14分

即，

整理，得，即，

所以，故的取值范围为．   16分

解法二：过作交于，

设到直线的距离，则

，

，

又因为

所以，，因为，

所以，所以，；

解法三：因为，，所以

所以，所以，．

考点：直线方程，直线垂直的条件，圆的方程，直线与圆的位置关系。