Question

函数

（1）若，证明；

（2）若不等式时和都恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）构造函数g(x)="f(x)-" ，利用导数来判定单调性得到证明。

（2）或

【解析】

试题分析：（1）令g(x)="f(x)-" ="ln(x+1)-" ，

则g′(x)=  -∵x＞0，

∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．

故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞

（2）原不等式等价于x2-f(x2)≤m2-2bm-3．

令h(x)= x2-f(x2)=x2-ln(1+x2)，

则h′(x)=x-=

令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．

∴当x∈[-1，1]时，h（x）max=0，

∴m2-2bm-3≥0．令Q（b）=-2mb+m2-3，

则Q(1)=m2-2m-3≥0, Q(-1)=m2+2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．

考点：函数的导数