Question

 如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大小；

（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.

Answer

（1）

（2）

【解析】

试题分析：【解析】
（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGAF，

G为垂足。连接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。

于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD为二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，

由，得

（向量法）以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）

设平面ABF的法向量，则由得

令，得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而

由得。

又因为

故四棱锥H-ABCD的体积

考点：二面角以及体积