Question

已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为“一阶比增函数”.

(Ⅰ) 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；

(Ⅱ) 若是“一阶比增函数”，求证：，；

（Ⅲ）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.

Answer

(Ⅰ)  (Ⅱ)本小题关键是先得到，

（Ⅲ）本小题要结合(Ⅱ)的结论来证明。

【解析】

试题分析：【解析】
（I）由题在是增函数，

由一次函数性质知

当时，在上是增函数，

所以 

（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，

又，有，

所以，                 

所以，

所以   

所以                              

（Ⅲ）设，其中.

因为是“一阶比增函数”，所以当时，

取，满足，记

由（Ⅱ）知，同理，

所以一定存在，使得，

所以一定有解                             

考点：函数的单调性