Question

已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．  

（1）求直线的方程及的值；

（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；

（3）当时，求证：．

Answer

（1），m=-2

（2）取得最大值

（3）由（Ⅱ）知：当时，，即，结合单调性来证明。

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率

，所以直线的方程为．又因为直线与的图像相切，所以由

，

得（不合题意，舍去）； .  4分

（Ⅱ）因为（），所以

．当时，；当时，．

因此，在上单调递增，在上单调递减．

因此，当时，取得最大值； .  8分

（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有． .  12分

考点：导数的运用