Question

（本小题满分12分）如图，矩形所在平面与平面垂直，，且，为上的动点.

(Ⅰ)当为的中点时，求证：；

(Ⅱ)若，在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为. 若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由.

Answer

(1)根据已知条件当为中点时，，              

从而为等腰直角三角形，∴，同理可得，∴，

于是，再结合又平面平面，得到平面得到证明。 (2) 点在线段BC上距B点处

【解析】

试题分析：方法一：不妨设，则.

(Ⅰ)证明：当为中点时，，              

从而为等腰直角三角形，∴，

同理可得，∴，

于是，                        

又平面平面，

平面平面，

平面，  

∴ ，又，∴.………………6分

(Ⅱ)若线段上存在点,使二面角为。

过点作于,连接,由⑴ 所以

为二面角的平面角，

…………………………..8分

设, 则中，在中由，得,则,在中 ,所以,所以线段上存在点,当时，二面角为。                                       .12分

方法二：∵平面平面，平面平面，平面，

以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图.

(Ⅰ)不妨设，AB=1 

则，

从而，…………………………4分

于是，

所以所以  ………………………………6分

(Ⅱ)设，则，

.……………………………………8分

易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量，

则 即，解得，令则，，

从而，……………………………………………10分

依题意，即，

解得（舍去）， 

所以点在线段BC上距B点处..………………………………………12分

考点：本试题考查了线线垂直，二面角知识。