Question

如图，在直线三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥A₁B；

（Ⅱ）设D是BB₁的中点，求DC₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）本题关键是证明平面（Ⅱ）

【解析】

试题分析：解:(Ⅰ)三棱柱是直三棱柱,

平面,.

又,平面

平面,

平面,从而.                 

(Ⅱ)如图,以点为原点,为轴正方向,线段长度为单位长度,建立空间直角坐标系.

设,则,,,

则

由于直线与所成的角为,

所以,.           

,,设平面的法向量,

,可取.,.     

于是,

所以与平面所成角的正弦值为.

考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角