Question

已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.

(Ⅰ)求直线的方程及的值；

(Ⅱ)若(其中是的导函数)，求函数的最大值；

(Ⅲ)当时，求证：.

Answer

(Ⅰ)直线的方程为. .

(Ⅱ)当时，取最大值，其最大值为2.

(Ⅲ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ)，.∴直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.  ∴直线的方程为. 又∵直线与函数的图象相切,

∴方程组有一解. 由上述方程消去，并整理得

        ①

依题意，方程①有两个相等的实数根，

解之，得或      .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 

 .  .

∴当时，，当时，.

∴当时，取最大值，其最大值为2.

(Ⅲ) .

，  ， .

由(Ⅱ)知当时，  ∴当时，，

.     ∴

考点：导数的几何意义，直线方程，利用导数研究函数的极值（最值），不等式证明问题。