Question

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）．（2）. （3）. 

【解析】

试题分析：（1）当时，函数， ．             

，

曲线在点处的切线的斜率为．   2分

从而曲线在点处的切线方程为，

即．             3分

（2）．                 4分

令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.                5分

由题意＞0，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，

只需，即，

∴在内为增函数，正实数的取值范围是.       7分

（3）∵在上是减函数，

∴时，； 时，，即， 8分

①当＜0时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，∴在内是减函数．

当时，，因为，所以＜0，＜0，

此时，在内是减函数．

故当时，在上单调递减，不合题意…10分

②当0＜＜1时，由，

所以．

又由（Ⅱ）知当时，在上是增函数，

∴＜，不合题意； 12分

③当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，，

又在上是减函数，

故只需＞，，

而，，即 ，

解得＞ ，所以实数的取值范围是.    ……15分

考点：本题考查了导数的运用