Question

已知函数．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，证明：．

Answer

（1）（0，＋∞）（2）由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，因此，当时，≤，即≤0∴ ．

令，则＝∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ 综上可知，当时，有

【解析】

试题分析：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－.

由<0及x>－1，得x>0．∴ 当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．

⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，

因此，当时，≤，即≤0∴ ．

令，则＝．……………8分

∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．

∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．

综上可知，当时，有．……………………………………12分

考点：求函数单调区间及证明不等式