Question

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．

（1）求的极值；

（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当时，取极小值，其极小值为（2）函数和存在唯一的隔离直线

【解析】

试题分析：(1) ，

．        

当时，．                     

当时，，此时函数递减； 

当时，，此时函数递增；

∴当时，取极小值，其极小值为．   …………………………………6分   

(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．          

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．                                

由，可得当时恒成立．

，                             

由，得．                       

下面证明当时恒成立．

令，则

，                

当时，．

当时，，此时函数递增；

当时，，此时函数递减；

∴当时，取极大值，其极大值为．   

从而，即恒成立．            

∴函数和存在唯一的隔离直线．……………12分 

解法二： 由(1)可知当时， (当且仅当时取等号) ．

若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得

和恒成立，

令，则且

，即．                    

后面解题步骤同解法一．

考点：函数求极值及利用函数求解不等式恒成立问题