Question

(本题满分13分)已知抛物线过点。

（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；

（2）是否存在平行于(为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于?

若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由。

（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线相交于点，与抛物线相交于点，求的最小值。

Answer

(1) 抛物线的方程为，其准线方程为 (2) 符合题意的直线存在，其方程为 (3) 的最小值为16.

【解析】

试题分析：（1）将带入，得，所以,

故所求抛物线的方程为，其准线方程为.                   ……2分

（2）假设存在符合题意的直线，其方程为,

由得,                                     ……3分

直线与抛物线有公共点，

解得,                                           ……4分

由直线与的距离可得，解得,                 ……5分

,

符合题意的直线存在，其方程为.                        ……7分

(3)由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为,

由，得,

设，则是上述方程的两个实根,

于是,

因为，所以斜率为，

设，则同理可得。

故==

==

=

=,

当且仅当，即时取最小值.                    ……13分

考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求法和直线与双曲线的位置关系的应用以及平面向量的坐标运算、基本不等式的应用等，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力和运算求解能力.