Question

如图，已知是长轴为的椭圆上三点，点是长轴的一个顶点，过椭圆中心，且.

(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；

(2)如果椭圆上两点使直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，是否总存在实数使?请给出证明．

Answer

(1)(2) 存在实数使证明：设直线的方程为，所以直线的方程为由椭圆方程与直线的方程联立，消去得

，所以同理

又，所以，所以，即存在实数使成立

【解析】

试题分析：(1)以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，椭圆方程可设为

而为椭圆中心，由对称性知

又，所以

又，所以

所以为等腰直角三角形，所以点的坐标为

将 代入椭圆方程得   则椭圆方程为

(2)由直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，设直线的斜率为，

则直线的斜率为，直线的方程为，

直线的方程为

由椭圆方程与直线的方程联立，消去得

     ①

因为在椭圆上，所以是方程①的一个根，于是

  同理

这样，

又，所以

即.所以，即存在实数使.

考点：求椭圆方程及直线与椭圆相交韦达定理的应用