Question

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台。

如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.

Answer

以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）.   

（Ⅰ）设由得到，进一步得到平面；

（Ⅱ）二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）.    3分

（Ⅰ）证明：设则有所以，，∴平面；   6分

（Ⅱ）【解析】

设为平面的法向量，

于是   8分

同理可以求得平面的一个法向量，   10分

∴二面角的余弦值为.    12分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。