Question

已知其中.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；

(3)当时，设函数在区间上的最大值为最小值为，记，求函数在区间上的最小值.

Answer

(1)增区间：和；减区间：；(2) ；(3).

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）f′（x）=x2+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），又a＞0，

∴当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当-1＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以f（x）的单调增区间为：（-∞，-1），（a，+∞）；单调减区间为：（-1，a）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，从而函数f（x）在（-2，0）内恰有两个零点当且仅当，解得。

所以a的取值范围是。

（Ⅲ）a=1时，，由（Ⅰ）知f（x）在[-3，-1]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．

（1）当t∈[-3，-2]时，t+3∈[0，1]，-1∈[t，t+3]，f（x）在[t，-1]上单调递增，在[-1，t+3]上单调递减，因此，f（x）在[t，t+3]上的最大值M（t）=f（-1）="-" ，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者．由f（t+3）-f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[-3，-2]时，f（t）≤f（t+3），故m（t）=f（t），所以g（t）=f（-1）-f（t）．而f（t）在[-3，-2]上单调递增，因此f（t）≤f（-2）="-" ，g（t）在[-3，-2]上的最小值为g（-2）="-" -（-）= 。

（2）当t∈[-2，-1]时，t+3∈[1，2]，且-1，1∈[t，t+3]．下面比较f（-1），f（1），f（t），f（t+3）的大小．由f（x）在[-2，-1]，[1，2]上单调递增，有f（-2）≤f（t）≤f（-1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）．又由f（1）=f（-2）=-，f（-1）=f（2）=-，从而M（t）=f（-1）=-，m（t）=f（1）=-，所以g（t）=M（t）-m（t）=。

综上，函数g（t）在区间[-3，-1]上的最小值为。

考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究函数的最值。