Question

已知抛物线及点，直线的斜率为1且不过点P，与抛物线交于A,B两点。

（1） 求直线在轴上截距的取值范围；

（2） 若AP,BP分别与抛物线交于另一点C,D,证明：AD、BC交于定点。

Answer

（1）；（2）设A,B两点的坐标分别为，直线AD的方程为，当时，

即直线AD与轴的交点为，同理可得BC与轴的交点也为

所以AD、BC交于定点  .

【解析】

试题分析：（1） 设直线的方程为，由于直线不过点P，因此

由 得

由 解得

所以直线在轴上截距的取值范围是。           

（2） 证明：设A,B两点的坐标分别为

因为AB的斜率为1，所以

设点D坐标为,因为B,P,D共线，所以

得

直线AD的方程为

当时，

即直线AD与轴的交点为

同理可得BC与轴的交点也为

所以AD、BC交于定点  .

考点：直线与抛物线的综合应用；抛物线的简单性质；斜率公式；直线方程的点斜式。