Question

已知点P（4，4），圆C：与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ） [－12，0]．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）点A代入圆C方程，

得．

∵m＜3，∴m＝1．       2分

圆C：．设直线P的斜率为k，

则PF1：，即．

∵直线P与圆C相切，∴．

解得．      4分

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

∴c＝4．（－4，0），（4，0）． 

2a＝A＋A＝，，a2＝18，b2＝2．

椭圆E的方程为：．    7分

（Ⅱ），设Q（x，y），，

．   9分

∵，即，

而，∴－18≤6xy≤18．

则的取值范围是[0，36]．

的取值范围是[－6，6]．

∴的取值范围是[－12，0]．  13分

考点：本题主要考查直线方程，直线与圆的位置关系，椭圆标准方程，向量的坐标运算，基本不等式的应用。