Question

（本题12分）如图，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB＝2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F，

⑵    证：平面A₁CB⊥平面BDE；

⑵求A₁B与平面BDE所成角的正弦值。

Answer

由正四棱柱得BDAC，BDAA1，推出BD面A1 AC ，A1CＢＤ ，又A1B1面BB1 C１C，BE得到BEA1B1，又BEB1C， BE面A1B1C，平面A1CB⊥平面BDE；；

⑵ 

【解析】

试题分析：

正四棱柱得BDAC，BDAA1，又，BD面A1 AC ,又A1 C面A1 AC，

A1CＢＤ ，又A1B1面BB1 C１C，BE面BB1 C１C，BEA1B1，又BEB1C，

 BE面A1B1C，A1 C面A1B1C， BEA1 C，又，A1 C面BDE，又A1 C面A1BC

平面A1CB⊥平面BDE；

⑵以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立坐标系，则，，，

∴， 

∴，设A1C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，∴ 

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。