Question

（本题12分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。

（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

Answer

1）利用坐标运算

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”，该命题是假命题.  

【解析】

试题分析：1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,)、B(3,－)，∴……3分

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y12, x2=y22, 

∴=x1x2+y1y2=="3."

综上所述, 命题“......”是真命题.

解法二：设直线l的方程为my =x－3与="2x" 联立得到y2-2my-6=0   =x1x2+y1y2

=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9＝3 

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”，该命题是假命题.  例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为y = (x+1),而T(3,0)不在直线AB上.……12分

考点：本题主要考查抛物线的几何性质，直线好抛物线的位置关系，命题的概念及四种命题的关系，向量的坐标运算。