Question

已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.

（Ⅰ）求直线PQ与圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l∥PQ，直线l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ） (x－1)2＋y2＝13.（Ⅱ）y＝－x＋4或y＝－x－3.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直线PQ的方程为：x＋y－2＝0，

设圆心C(a，b)半径为r，

由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，即y＝x－1，

所以b＝a－1.                                   ①

又由在y轴上截得的线段长为4，知r2＝12＋a2，

可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，                                  ②

由①②得： a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.

当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，

当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，

故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.

（Ⅱ）设直线l的方程为y＝－x＋m，A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)，

由题意可知OA⊥OB，即＝0，

∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0， 化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.       ③

由得2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，

∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝.

代入③式，得m2－m·(1＋m)＋m2－12＝0，

∴m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ>0，

∴y＝－x＋4或y＝－x－3.

考点：圆的标准方程，直线方程，直线与圆的位置关系，向量垂直的条件。