Question

（本题满分12分）在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点．

（1）求证：AC₁∥平面BDE；（2）求异面直线A₁E与BD所成角。

Answer

（1）连结AC交BD于O，连接EO因为平行四边形ABCD，

由OE为△AC1C中位线，得出OE∥AC1；从而AC1∥面BDE。

（2）先证BD⊥面A1AC C1

证得BD⊥A1E，A1E与BD所成角为900。

【解析】

试题分析：（1）连结AC交BD于O，连接EO因为平行四边形ABCD，

所以O为BD中点，E为CC1中点

所以OE为△AC1C中位线，

所以OE∥AC1-----------3

OE面BDE

AC1面BDE

AC1∥面BDE------------6

（2）因正四棱柱ABCD－A1B1C1D1

所以BD⊥A1A，又因BD⊥AC

A1A∩AC="A" ，A1A 面A1AC C1

B

AC面A1AC C1

所以BD⊥面A1AC C1                           --------9

A1E面A1AC C1

所以BD⊥A1E-

A1E与BD所成角为900------12

考点：本题主要考查立体几何的线面垂直，异面直线所成角的计算，几何体的特征。