Question

（本小题满分14分）

已知函数，，记。

（Ⅰ）判断的奇偶性，并证明；

（Ⅱ）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值；

（Ⅲ）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）奇函数(2) (3)

【解析】

试题分析：【解析】
（Ⅰ）函数为奇函数………………………………………………2分

现证明如下：

∵函数的定义域为，关于原点对称。……………………………………3分

由…………………5分

∴函数为奇函数…………………………………………………6分

（Ⅱ）据题意知，当时，，…………7分

∵在区间上单调递增，

∴，即………………………………………8分

又∵

∴函数的对称轴为

∴函数在区间上单调递减

∴，即………………………………………9分

由，

得，∴………………………………………………………………10分

（Ⅲ）当时，

即，

，…………………………………………………12分

令，

下面求函数的最大值。

，

∴……………………………………………………………………13分

故的取值范围是………………………………………………………14分

考点：本试题考查了函数的奇偶性和单调性的运用。