Question

设函数（，为常数）

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若，证明：当时，.

Answer

①②见题解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数的导数,分类讨论二次函数的零点情况,确定导函数的正负取值区间,进一步确定原函数的单调性. （Ⅱ）先把原不等式等价转化为,由于我们只能运用求导的方法来研究这个函数的值域,而此函数由于求导后不能继续判断导函数的正负区间,故利用均值不等式进行放缩, 后,函数可以通过求导研究值域,且 恒成立是恒成立的充分条件,注意需要二次求导.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为，  ，

（1）当时，解得或；解得

所以函数在，上单调递增，在上单调递减；

（2）当时，对恒成立，所以函数在上单调递增；

（3）当时，解得或；解得

所以函数在，上单调递增，在上单调递减. ……（6分）

（Ⅱ）证明:不等式等价于

因为， 所以 ，

因此    

令， 则

令得：当时，

所以在上单调递减，从而. 即，

在上单调递减，得:，

 当时，.. ……（12分）

考点：1.函数导数的求法;2.导数的应用;3.均值不等式;4.放缩法.