Question

已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点．直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）当时，的面积最大，最大面积为.

【解析】

试题分析：1.由于题目较长，一些考生不能识别有效信息，未能救出椭圆的方程求.2. 第（Ⅰ）问，求的取值范围.其主要步骤与方法为：由，得关于、的不等式…… ①.由根与系数的关系、，在椭圆上，可以得到关于、、的等式……    ②．把等式②代入①，可以达到消元的目的，但问题是这里一共有三个变量，就是消了，那还有关于和的不等式，如何求出的取值范围呢？这将会成为难点.事实上，在把等式②代入①的过程中，和一起被消掉，得到了关于的不等式.解之即可.

3.第（Ⅱ）问要把的面积函数先求出来.用弦长公式求底，用点到直线的距离公式求高，得到的面积，函数中有两个自变量和，如何求函数的最大值呢？这又成为难点.这里很难想到把②代入面积函数中，因为②中含有三个变量，即使代入消掉一个后，面积函数依然有两个自变量.但这里很巧合的是：代入消掉后，事实上，也自动地消除了，于是得到了面积和自变量的函数关系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范围，利用均值不等式，即可求出面积的最大值了.

试题解析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，根据题意得

 解方程组得

∴椭圆的方程为．

由，得．

根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根.

∴，

化简得：．

设、，则

．

（1）当时，点、关于原点对称，，满足题意；

（2）当时，点、关于原点不对称，.

由，得 即 

∵在椭圆上，∴，

化简得：．

∵，∴．

∵，

∴，即且．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是．

（Ⅱ）当时，，此时，、、三点在一条直线上，不构成.

∴为使的面积最大，.

 ∵

∴.

∵原点到直线的距离，

∴的面积．

∵，，

∴.

∴．

∵，

∴．

“” 成立，即．

∴当时，的面积最大，最大面积为

考点：直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力.