Question

如图1，在直角梯形中，，，，

. 把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．

(I)求证：平面平面；

(II)求直线与平面所成角的正弦值；

(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由.

Answer

(I) 详见解析； (II) ； (III) 存在点M满足条件．

【解析】

试题分析：(I)借助三角形中位线得到线线平行，进而得到面面平行；(II)建立空间直角坐标系，应用空间向量知识求线面角；(III) 记点为，证明即可．

试题解析：

（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上

所以平面，所以                         1分

因为在直角梯形中，，，

，

所以，，所以是等边三角形，

所以是中点，                                         2分

所以                                              3分

同理可证

又

所以平面                                  5分

（II）在平面内过作的垂线

如图建立空间直角坐标系，

则，，                      6分

因为，

设平面的法向量为

因为，

所以有，即，

令则  所以                               8分

                                 10分

所以直线与平面所成角的正弦值为                        11分

(III)存在，事实上记点为即可                                        12分

因为在直角三角形中，，                  13分    

在直角三角形中，点

所以点到四个点的距离相等                                     14分

考点：1、面面平行的判定定理；2、直线与平面所成的角；3、立体几何中的探索性问题．