Question

已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.

（I）当时,求函数的单调区间；

（II）当时, 若,使得, 求实数的取值范围.

Answer

(I) 增区间 ，减区间：； (II)  ．

【解析】

试题分析：(I) 先表示出 的解析式，应用导数求解担单调区间；(II)转化为使在上的最大值大于等于e即可．

试题解析：

(I) 因为，其中                          2分

当，，其中

当时，，，

所以，所以在上递增，                        4分

当时，，，

令， 解得，所以在上递增

令， 解得，所以在上递减      7分

综上，的单调递增区间为，

的单调递减区间为                                                       

（II）因为，其中

当，时，

因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于

，令，得                            8分

当时，即时

对成立，单调递增

所以当时，取得最大值  

令  ，解得    ，

所以                                                            10分  

当时，即时

对成立，单调递增

对成立，单调递减

所以当时，取得最大值          

 令   ，解得

所以                                             12分

综上所述，                                                 13分

考点：1、应用导数研究函数的单调性与最值；2、分类与整合数学思想．