Question

如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）求四面体的体积；

（Ⅱ）证明：∥平面；

（Ⅲ）证明：平面平面．

Answer

（Ｉ）；（ＩＩ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．

【解析】

试题分析：（I）根据三视图等条件，求出棱锥底面积和高，可求体积；（II）在面PFC内找一直线平行AE即可证明∥平面；（III）证平面平面只需证明平面过平面的一条垂线即可.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由左视图可得 为的中点，

所以 △的面积为 ．      1分

因为平面，                    2分

所以四面体的体积为

                       3分

．                      4分

（Ⅱ）证明：取中点，连结，．                                   5分

由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，．       6分

又因为∥，， 所以∥，．

所以四边形为平行四边形，所以∥．                        8分

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面．                                             9分

（Ⅲ）证明：因为 平面，所以 ．

因为面为正方形，所以 ．

所以 平面．                                                11分

因为 平面，所以 ．      

因为 ，为中点，所以 ．

所以 平面．                                               12分

因为 ∥，所以平面．                                13分

因为 平面， 所以 平面平面.                    14分

考点：棱锥体积公式，线面平行，面面垂直.