Question

如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．   

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）证明：∥平面；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由．

Answer

(I)详见解析；（II）详见解析；（III）点位于点处，此时；或中点处，此时.

【解析】

试题分析：(I)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，线和面内两相交直线垂直，则线垂直面；(II)线与面内一直线平行，则线面平行；(III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦.

试题解析：【方法一】

（Ⅰ）证明：由俯视图可得，，

所以．          1分

又因为 平面，

所以 ，          3分

所以 平面．                                          4分

（Ⅱ）证明：取上一点，使，连结，．        5分

由左视图知 ，所以 ∥，．      6分

在△中，易得，所以 ．又 ， 所以， ．

又因为 ∥，，所以 ∥，．

所以四边形为平行四边形，所以 ∥．                8分

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面．                                      9分

（Ⅲ）【解析】
线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：10分

因为 平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．

所以 ．

设 ，其中．                                    11分

所以，．

要使与所成角的余弦值为，则有 ，   12分

所以 ，解得 或，均适合．  13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．                                                        14分

【方法二】

（Ⅰ）证明：因为平面，，建立如图所示

的空间直角坐标系．

在△中，易得，所以 ，

因为 ， 所以， ．

由俯视图和左视图可得：

．

所以 ，．

因为 ，所以．         2分

又因为 平面，所以 ，                      3分

所以 平面．                                          4分

（Ⅱ）证明：设平面的法向量为，则有

因为 ，，

所以   取，得．                 6分           

因为 ，

所以 ．                        8分

因为 平面，

所以 直线∥平面．                                      9分

（Ⅲ）【解析】
线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：10分

设 ，其中．                                    11分

所以 ，．

要使与所成角的余弦值为，则有 ，  12分

所以 ，解得或，均适合．   13分

故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．                                                        14分

考点：1.空间直角坐标系的建立，线垂直面；2.线面平行；利用数量积公式.