Question

已知函数，其中．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．

Answer

（I）；（II）详见解析.

【解析】

试题分析：(I)求出导数即切线斜率，代入点斜式；(II)列表，依据参数分情况讨论，求最值.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
的定义域为， 且 ．             2分

当时，，，

所以曲线在点处的切线方程为 ，

即 ．                                              4分

（Ⅱ）【解析】
方程的判别式为．

（ⅰ）当时，，所以在区间上单调递增，所以在区间

上的最小值是；最大值是．                    6分

（ⅱ）当时，令，得 ，或．                    

和的情况如下：

↗

↘

↗

故的单调增区间为，；单调减区间为．

8分

① 当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间 

上的最小值是；最大值是．                    10分

② 当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以在区间上的最小值是 ．        11分

因为 ，

所以 当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．                          12分

③ 当时，，此时在区间上单调递减，

所以在区间上的最小值是；最大值是．14分

综上，

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是；

当时，在区间上的最小值是，最大值是．

考点：1.求导数，函数单调性性;2.分类讨论.