Question

已知集合是正整数的一个排列，函数

 对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列；排列为排列的母列．

（Ⅰ）当时，写出排列的生成列及排列的母列；

（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；

（Ⅲ）对于中的排列，定义变换：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列．

Answer

(I) ，；（II）详见解析；（III）详见解析.

【解析】

试题分析：（I）弄懂已知条件中生成列、母列定义即可求解；（II）弄懂“对于，定义：，，称为的满意指数．”是解题的关键；（III）把握第(I)问，由特殊到一般，才能顺利求(III).

试题解析：（Ⅰ）【解析】
当时，排列的生成列为；         2分

排列的母列为．                          3分

（Ⅱ）证明：设的生成列是；的生成列是与．

从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，．

显然 ，，，，下面证明：．     5分

由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．

由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而．

同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而．

因为 与是个不同数的两个不同排列，且，

所以 ， 从而 ．

所以排列和的生成列也不同．                8分

（Ⅲ）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 ．              9分

进行一次变换后，排列变换为，设该排列的生成列为．  所以

      ．                  11分

因此，经过一次变换后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加．

因为的满意指数，其中，

所以，整个排列的各项满意指数之和不超过，

即整个排列的各项满意指数之和为有限数，

所以经过有限次变换后，一定会使各项的满意指数均为非负数．      13分

考点：1.分段函数;2.数列新定义.