Question

已知函数，其中为正实数，是的一个极值点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求函数在上的最小值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由为函数的一个极值点，得到便可求出的值，但在求得答案后注意处附近左、右两侧导数符号相反，即成为极值点的必要性；（Ⅱ）对于含参函数的最值问题，一般结合导数考察函数在相应区间的单调性，利用端点值以及函数的极值确定函数的最小值.

试题解析：

（Ⅰ）因为是函数的一个极值点，

所以，因此，，解得，

经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为.

                       4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

令，得

与的变化情况如下：

+

0

-

0

+

所以，的单调递增区间是单调递减区间是

当时，在上单调递减，在上单调递增

所以在上的最小值为

当时，在上单调递增，

所以在上的最小值为

                       13分

考点：函数的极值、函数的单调性与最值