Question

如图，已知三棱锥中，，，为中点，为 中点，且为正三角形。

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）求证：平面⊥平面；

（III）若，，求三棱锥的体积.

Answer

（Ⅰ）、（Ⅱ）详见解析（III）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用中位线性质得到线线平行，根据线面平行的判定判定直线与平面平行；（Ⅱ）利用正三角形中点得到线线垂直，根据平行推得线线垂直，利用直线与平面垂直判定面面垂直；（Ⅲ）利用三棱锥的体积公式计算体积.

试题解析：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，

∴MD//AP，   又∴MD平面ABC

∴DM//平面APC．                               3分

（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点．∴MD⊥PB．

又由（1）∴知MD//AP，  ∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC   ∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，   又∵AC⊥BC．                        7分

∴BC⊥平面APC，   ∴平面ABC⊥平面PAC，

（Ⅲ）∵ AB=20

∴ MB=10    ∴PB=10

又 BC=4，.

∴.

又MD.

∴VD-BCM = VM-BCD =.      12分

考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定，三棱锥体积计算.