Question

在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

(1) 求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；

(2) 设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围.

Answer

(1) ,;(2)

【解析】

试题分析：本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.(1)利用极坐标转化公式直接转化求圆的方程，利用消掉参数的方法得到直线的普通方程；（2）首先确定两切线成角最大的情况，借助点到直线的距离和二倍角公式探求余弦值最小，进而得到取值范围.

试题解析：(1) 对于曲线的方程为，

可化为直角坐标方程，即；

对于曲线的参数方程为（为参数），可化为普通方程.        (5分)

(2) 过圆心点作直线的垂线，此时两切线成角最大，即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知，

，则，因此，

因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是.                       (10分) 

考点：(1)极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;(2)直线与曲线的位置关系;(3)点到直线的距离.