Question

已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共

线，且，求的取值范围.

Answer

(1) ;(2)

【解析】

试题分析：本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识，提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视，本题主要考查考生的推理论证能力，运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.（1）利用方程思想和几何性质，得到含有的两个等量关系，进而利用待定系数法求解椭圆方程；（2）通过直线与方程联立，借助韦达定理和弦长公式将进行表示为含有的函数关系式，利用换元法和二次函数求值域的思路寻求范围.

试题解析：(1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，

即取最大值，且.

由得

又为定值，，

综上得；

又由，可得，即，

经计算得，，，

故椭圆方程为.                                                                                                          (5分)

(2) ①当直线与中有一条直线垂直于轴时，.

②当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，由         消去

可得，代入弦长公式得：        ，

同理由消去可得，

代入弦长公式得：，

所以

令，则，所以，

由①②可知，的取值范围是.                                           (12分)

考点：(1)椭圆方程；（2）直线与椭圆的位置关系；（3）函数的值域.