Question

已知函数.

(1) 当时，求函数的单调区间；

(2) 当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．

(3) 求证：，(其中，是自然对数的底).

Answer

(1) 函数的单调递增区间为，单调递减区间为;(2) ．(3)详见解析.

【解析】

试题分析：本小题主要通过函数与导数综合应用问题，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，其中重点对导数对函数的描述进行考查，本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题，也是一道关于数列拆分问题的典型例题，对今后此类问题的求解有很好的导向作用. (1)代入的值，明确函数解析式，并注明函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调性；（2）利用构造函数思想，构造，然后利用转化思想，将问题转化为只需，下面通过对进行分类讨论进行研究函数的单调性，明确最值进而确定的取值范围.(3)首先利用裂项相消法将不等式的坐标进行拆分和整理，然后借助第二问的结论进行放缩证明不等式.

试题解析：：(1) 当时，，

，

由解得，由解得.

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.                        (4分)

(2) 因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，

则当时，不等式恒成立，即恒成立，、

设()，只需即可．

由，

(i) 当时， ，

当时，，函数在上单调递减，故成立． 

(ii) 当时，由，因，所以，

① 若，即时，在区间上，，

则函数在上单调递增，在上无最大值，当时，     ，此时不满足条件；

② 若，即时，函数在上单调递减，

在区间上单调递增，同样在上无最大值，当时，  ，不满足条件．

(iii) 当时，由，∵，∴，

∴，故函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数a的取值范围是．                                                                (8分)

(3) 据(2)知当时，在上恒成立

(或另证在区间上恒成立)，

又，

因此

.

.                                                  (12分)

考点：(1)导数来研究函数的单调性;(2)不等式证明.