Question

如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，.

(Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)设．

(ⅰ) 若直线与平面所成的角为，求线段的长；

(ⅱ) 在线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由．

Answer

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) ，不存在点.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)先证明线面垂直平面,再证明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐标系，设平面的法向量为，利用两向量垂直，，列表达式，求出法向量，再由直线与平面所成的角为，得出法向量中的参量；先设存在点，找出的坐标，利用距离相等，列出表达式，看方程是否有根来判断是否存在点.

试题解析：解法一：

(Ⅰ)证明：因为平面，平面，

所以，又，，

所以平面，又平面，

所以平面⊥平面.                 3分

(Ⅱ)以为坐标原点，建立空间直角坐标系 (如图)．

在平面内，作交于点，则.

在中，，

.

设， 则，．

由得，

所以，，，

，．                 5分

(ⅰ)设平面的法向量为．

由，，得

取，得平面的一个法向量．

又，故由直线与平面所成的角为得

，即.

解得或 (舍去，因为)，所以.           7分

(ⅱ)假设在线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等．

设 (其中)．

则，，

．

由，得，

即；①

由，得.  ②

由①、②消去，化简得. ③

由于方程③没有实数根，所以在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等．

从而，在线段上不存在一个点，

使得点到点的距离都相等．              12分

解法二：

(Ⅰ)同解法一：

(Ⅱ)(ⅰ)以为坐标原点，建立空间直角坐标系 (如图)．

在平面内，作交于点，

则，

在中，

，

.

设，则，．

由得.

所以，，，

，．                 5分

设平面的法向量为．

由，，得

取，得平面的一个法向量．

又，故由直线与平面所成的角为得

，即.

解得或 (舍去，因为)，所以.           7分

(ⅱ)假设在线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等．

由 ，得，

从而，即，

所以.

设，则，.

在中，

，这与矛盾．

所以在线段上不存在一个点，使得点到的距离都相等．

从而，在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等

考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的判定；3.向量垂直的应用；4.线面角公式.