Question

给定椭圆： ，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，且其短轴上的一个端点到的距离为.

(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；

(Ⅱ)点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．

Answer

(Ⅰ) ，；(Ⅱ)垂直.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出，利用短轴上的一个端点到的距离为，求出，解出，，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.

试题解析：(Ⅰ)由题意可知，，则，，

所以椭圆方程为.                   2分

易知准圆半径为，

则准圆方程为.                      4分

(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，

不妨设的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，

当的方程为时，此时与准圆交于点，，

此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是或，

即为或，显然直线垂直；           6分

同理可证直线的方程为时，直线也垂直．      7分

②当的斜率都存在时，设点，其中.

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，

由消去，得.

由化简整理得，.   因为，

所以有.                 10分

设直线的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，

所以满足方程，

所以，即垂直．                  12分

综合①②知，垂直．                        13分

考点：1.椭圆方程；2.分类讨论思想解题.