Question

已知函数，为自然对数的底数）.

(Ⅰ)当时,求的单调区间；

(Ⅱ)若函数在上无零点,求最小值；

(Ⅲ)若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.

Answer

(Ⅰ) 的单调递减区间为，单调递增区间为；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】

试题分析：(Ⅰ)将代入，对求导，令和分别求出函数的单调递增区间和单调递减区间；(Ⅱ)通过分析已知先得到“对，恒成立”，下面求在上的最大值，所以，解出的最小值；(Ⅲ)先对求导，判断出上的单调性，并求出的值域，再对求导，确定单调性，画出简图，因为，得到，通过验证（2）是恒成立的，所以只需满足（3）即可，所以解出的取值范围.

试题解析：(Ⅰ)当时, ()，则.    1分

由得；由得.                3分

故的单调递减区间为，单调递增区间为.        4分

(Ⅱ)因为在区间上恒成立是不可能的,       5分

故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.

即对，恒成立.       6分

令，，则，

再令，，则.

故在为减函数，于是，

从而，于是在上为增函数，

所以，            8分

故要使恒成立，只要.

综上可知，若函数在上无零点，则的最小值为.   9分

(Ⅲ)，所以在上递增，在上递减.

又，，

所以函数在上的值域为.            10分

当时，不合题意；

当时，， .

当时，，由题意知，在上不单调，

故，即            11分

此时，当变化时，，的变化情况如下：

—

0

+

↘

最小值

↗

又因为当时，，

，，

所以，对任意给定的，在上总存在两个不同的，

使得成立，当且仅当满足下列条件：

，       12分

令，，则，

故当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

所以，对任意的，有，

即(2)对任意恒成立，则(3)式解得 (4) .     13分

综合(1)与(4)可知，当时，对任意给定的，

在上总存在两个不同的，使得成立.      14分

考点：1.用导数求函数的单调区间；2.用导数研究函数的零点；3.恒成立问题.