Question

一个口袋中有个白球和个红球且，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖.

（Ⅰ）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率；

（Ⅱ）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（Ⅲ）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出总事件为，两球颜色相同的事件有，然后得到结果；

（Ⅱ）先求出一次模球中奖的概率，又三次是独立重复试验，故可求得三次摸球中恰有一次中奖的概率；

（Ⅲ）先表示出三次摸球中恰有一次中奖的概率，再根据单调性就可求得的最大值.

试题解析：（Ⅰ）一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有 种选法；

一次摸球中奖的概率,       4分

（Ⅱ）若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是 .           8分

（Ⅲ）设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率

是，，

 ,

在是增函数，在是减函数，

当时，取最大值 ,           10分

 ，

，故时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大.          12分

考点：1.古典概型； 2.独立重复试验.