Question

如图，边长为a的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，且，将△AED、△CFD分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点，连结A¢B．

（Ⅰ）判断直线EF与A¢D的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角F－A¢B－D的大小．

Answer

（Ⅰ）异面垂直;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先证明A¢D⊥面A¢EF即可得EF与A¢D的位置关系是异面垂直；

（Ⅱ）先作出并证明ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角，再利用解三角形的方法求出ÐOHF的大小.

试题解析：（Ⅰ）A¢D⊥EF．         1分

证明如下：因为A¢D⊥A¢E，A¢D⊥A¢F，

所以A¢D⊥面A¢EF，又EFÌ面A¢EF，

所以A¢D⊥EF． 直线EF与A¢D的位置关系是异面垂直      4分

（Ⅱ）方法一、设EF、BD相交于O，连结A¢O，作FH⊥A¢B于H，              

连结OH，  因为EF⊥BD，  EF⊥A¢D．

所以EF⊥面A¢BD，A¢BÌ面A¢BD，  所以A¢B⊥EF，又A¢B⊥FH，

故A¢B⊥面OFH，OHÌ面OFH，       所以A¢B⊥OH，

故ÐOHF是二面角F－A¢B－D的平面角．

，A¢E＝A¢F＝，EF＝，则，

所以，△A¢EF是直角三角形，则，

则，，∴，，

则A¢B＝，所以，

所以， tanÐOHF＝，故ÐOHF＝．

所以二面角F－A¢B－D的大小为．  12分

方法二、设EF、BD相交于O，连结A¢O，作于G，可得A¢G⊥面BEDF，

，A¢E＝A¢F＝，EF＝，则，

所以，△A¢EF是直角三角形，则，

则，则，

∴，，

所以，，则，

分别以BF、BE为空间直角坐标系的x、y轴，建立如图坐标系，则，， ，，故，，，，

因，，故面A¢BD的一个法向量，

设面A¢BF的一法向量为，则取，

设二面角F－A¢B－D的平面角为，则，∴，

故二面角F－A¢B－D的大小为．       12分

考点：1.直线与平面的位置关系；  2.二面角.