Question

已知函数，（其中，），且函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若，满足，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，试探究与的大小，并说明你的理由．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出在点处切线方程为，再求出在点处切线方程为，比较两方程的系数即可得，；（Ⅱ）根据题意可转化成在上有解，令，只需，分类讨论可求得实数m的取值范围是；

（Ⅲ）令，再证函数在区间上单调递增，当时，恒成立，即可得对任意，有，再证即可得证.

试题解析：（Ⅰ）∵，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，

又，∴，则在点处切线的斜率，切点，则在点处切线方程为，

由解得，．    4分

（Ⅱ）由得，故在上有解，

令，只需．      6分

①当时，，所以；    7分

②当时，∵，

∵，∴，，∴，

故，即函数在区间上单调递减，

所以，此时．

综合①②得实数m的取值范围是．   9分

（Ⅲ）令，．

令，则在上恒成立，

∴当时，成立，∴在上恒成立，

故函数在区间上单调递增，∴当时，恒成立，

故对于任意，有．   12分

又∵，

∴．

∴，从而．… 14分 

考点：1.导数在函数中的综合应用；2.存在性问题.