Question

如图，多面体中，四边形是边长为的正方形，平面垂直于平面，且，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若分别为棱和的中点，求证：∥平面；

（Ⅲ）求多面体的体积.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先证明平面，再证明 ，再证明平面，从而证明；（Ⅱ）先作辅助线，在中找到，在直角梯形中，，所以，所以，即平面；（Ⅲ）把多面体的体积分成两部分：和.

试题解析：（Ⅰ）连结，∵是正方形，∴.

∵平面平面，，是两平面的交线，

∴平面.而平面，∴.

又∵，

∴平面.而平面，∴.           4分

（Ⅱ）作，，，是垂足.

在中，,.

在直角梯形中，.

∴,∴四边形是平行四边形，∴.

而平面，∴平面.            9分

（Ⅲ）.        13分

考点：1.面面垂直；2.线面垂直；3.线面平行；4.多面体体积.