Question

已知数列中，，，若数列满足.

（Ⅰ）证明：数列是等差数列，并写出的通项公式；

（Ⅱ）求数列的通项公式及数列中的最大项与最小项.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ），最大项为，最小项为.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)首先通过已知条件化简变形，凑出这种形式，凑出常数，

就可以证明数列是等差数列，并利用等差数列的通项公式求出通项公式；（Ⅱ）因为与有关，所以利用的通项公式求出数列的通项公式，把通项公式看成函数，利用函数图像求最大值和最小值.

试题解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，

∴，∴数列是以1为公差的等差数列.           4分

∵，∴，又∵，，

∴是以为首项，为公差的等差中项.

∴， .        7分

（Ⅱ）∵，，.

∴作函数的图像如图所示：

∴由图知，在数列中，最大项为，最小项为.         13分

另【解析】
，当时，数列是递减数列，且.

列举；；.所以在数列中，最大项为，最小项为.

考点：1.等差数列的证明方法；2.利用函数图像求数列的最值.