Question

已知定圆的圆心为，动圆过点，且和圆相切，动圆的圆心的轨迹记为．

(Ⅰ)求曲线的方程；

(Ⅱ)若点为曲线上一点，试探究直线：与曲线是否存在交点? 若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）直线与曲线总有两个交点，.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先找出圆心和半径，设出动圆的圆心和半径，因为动圆过点，且和圆相切，所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆；（Ⅱ）讨论的情况，分和两种，当时，显然有两个交点，当时，联立方程组，消解方程，看解的个数.

试题解析：（Ⅰ）圆的圆心为，半径.

设动圆的圆心为半径为，依题意有.

由，可知点在圆内，从而圆内切于圆，故，

即，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆.        3分

设椭圆方程为.  由，，可得，.

故曲线的方程为.         6分

（Ⅱ）当时，由可得.此时直线的方程为：，

与曲线有两个交点.        8分

当时，直线的方程为：，

联立方程组消去得，   ①

由点为曲线上一点，得，可得.

于是方程①可以化简为.  解得或.

当代入方程可得；

当代入方程可得.显然时，.

综上，直线与曲线总有两个交点，.         13分

考点：1.求椭圆方程；2.判断直线与椭圆的交点.