Question

已知函数与的图像都过点，且它们在点处有公共切线.

（1）求函数和的表达式及在点处的公切线方程；

（2）设，其中，求的单调区间.

Answer

（1），，；

（2）当时，F(x)的单调减区间是 单调增区间是；

当时，F(x)没有单调减区间，单调增区间是.

【解析】

试题分析：(1)因为函数和有公共的切线，所以切线的斜率相同，又因为它们都过，所以可以列出方程，求出；（2）先求导数，求出函数的定义域，通过讨论的正负，求导求单调区间.

试题解析：(1)∵过点

∴，,                                         （2分）

∵，∴切线的斜率.

∵，  （1）

又∵的图像过点∴  （2）

联立（1）（2）解得：                                 （4分）

∴；切线方程为，即

∴，；切线为：       （6分）

（2）∵，

∴                             （9分）

①当时，，  ∵，∴

又，∴当时， ；

当时，.

∴的单调减区间是 单调增区间是；        （11分）

②当时，显然没有单调减区间，单调增区间是.     （13分）

考点：1.利用导数求切线方程；2.利用导数求单调区间.