Question

已知焦点在轴上的椭圆和双曲线的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为，设直线（其中为整数）.

（1）试求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

Answer

（1）椭圆为： ，双曲线为：（2）存在，满足条件的直线共有9条.

【解析】

试题分析：（1）将点代入即可求出椭圆的方程，通过椭圆的离心率求出双曲线的离心率，联立离心率和双曲线的方程，求出；（2）因为直线与椭圆交于不同两点，所以联立直线和椭圆方程，消去，整理方程即可.

试题解析：（1）将点代入解得

∴椭圆为： ，                                        （2分）

椭圆的离心率为∴双曲线的离心率为，               （3分）

∴，

∴双曲线为：                                         （6分）

（2）由消去化简整理得：

设，，则

      ①                      （8分）

由消去化简整理得：

设，，则

      ②                      （10分）

因为，所以，

由得：．

所以或．由上式解得或．

当时，由①和②得．因是整数，

所以的值为

当，由①和②得．因是整数，所以．

于是满足条件的直线共有9条．                                   （13分）

考点：1.求椭圆、双曲线的方程.