Question

已知数列满足，且，

（1）当时，求出数列的所有项；

（2）当时，设，证明：；

（3）设（2）中的数列的前项和为，证明：.

Answer

（1），，；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先将代入找出递推公式，逐一求出数列的每一项；（2）通过式子的变形找出的形式，利用放缩法比较大小；（3）放缩法求出解析式，再利用等比数列得求和公式求和.

试题解析：  （1）证明：∵，，

∴，，

由于当时，使递推式右边的分母为零。

∴数列只有三项：.             （3分）

（2），易知：，

又，

∴                                                   （5分）

由

，

即                                                      （8分）

（3）由（2）知： ，

∴

∵，

∴                                  （11分）

，

∴                                                     （13分）

考点：1.由递推公式求数列的每一项；2.放缩法比较大小；3.等比数列求和.