Question

如图，已知四边形为梯形，， ，四边形为矩形，且平面平面，，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取中点，可以证明四边形为平行四边形，即，∴∥平面；

（Ⅱ）证明平面即可；（Ⅲ）改变四面体（三棱锥）的顶点，取C即可；或者利用比例．

试题解析：（Ⅰ）取中点，连．

∵为对角线的中点，∴，且，

∴四边形为平行四边形，即；或者可以采用比例的方法求解．

又∵平面，平面，∴∥平面．             4分

（Ⅱ）∵四边形为矩形，且平面平面，∴平面，∴；

∵四边形为梯形，，且，∴．

又在中，，且，∴，，∴．

于是在中，由，，及余弦定理，得．

∴，∴．∴平面，

又∵平面，∴平面平面．                   9分

（Ⅲ）作，垂足为，由平面平面得平面．

易求得，所以三棱锥的体积为

．       13分．

【法二】连接，则、、三点共线，故

考点：线面位置关系的证明、多面体体积的计算．