Question

如图，在四棱锥中，平面，平面，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ)根据两个平面垂直的条件，在平面内找到一条垂直于平面的直线即可，取的中点，可证明平面；(Ⅱ) 二面角与二面角相等，二面角的平面角为，求出即可.（解法2采用的是向量的方法，求出平面、的法向量，即可证明平面平面；求出平面、的法向量，即可求出二面角.）

 (Ⅰ)证明：取的中点，的中点，连，，，则 

平面，平面，∴，

是平行四边形，.

，，又平面.

平面.平面.

从而平面平面.                                 6分

(Ⅱ)二面角与二面角相等，

由(Ⅰ)知二面角的平面角为.

，，

得，，

为正方形，，

∴二面角的大小为．                             12分

解法2：取的中点，连.

，，又平面.

以为原点建立如图空间直角坐标系，

则由已知条件有: ，，

设平面的法向量为，

则由

及

可取 

又平面，，平面，

∴平面的法向量可取为.

， ∴，∴平面平面.           6分

（Ⅱ）设平面的法向量为，

则由

及

可取

∵平面的法向量可取为，

∴锐二面角的余弦值为，

∴二面角的大小为．                                 12分.

考点：空间位置关系、二面角、平面向量.